WordPressは、WordPressそのものやプラグインのバージョンが上がると管理画面上で親切に案内してくれるようになっています。
ただ、運用側にとってはかえって邪魔になることがあります。
たとえば、更新通知があると、更新しなくていいと分かっていても気になってしょうがない、とか、
あるいは、プラグイン自体をいじっていて更新されては困る、といったこともあります。
そういう方は、更新通知を非表示にする方法があることを知っておいてもいいでしょう。

テーマのfunctions.phpに下記を挿入。

/* WP 本体 更新通知 非表示 */
add_filter('pre_site_transient_update_core', '__return_zero');
remove_action('wp_version_check', 'wp_version_check');
remove_action('admin_init', '_maybe_update_core');


/* WP プラグイン 更新通知 非表示 */
remove_action( 'load-update-core.php', 'wp_update_plugins' );
add_filter( 'pre_site_transient_update_plugins', create_function( '$a', "return null;" ) );


/* 特定のプラグイン 更新通知 非表示 */
add_filter('site_option__site_transient_update_plugins', 'a_plugin_hide_update_notice');
function a_plugin_hide_update_notice($data) {
  $plugin_name = 'a-plugin/a-plugin.php'; //当該プラグインのPlugin Nameのコメントがあるファイルのパスを記述（pluginsディレクトリより下を記述）
  if (isset($data->response[$plugin_name])) {
    unset($data->response[$plugin_name]);
  }
  return $data;
}

※　これをすることによって、緊急性の高いセキュリティリスクがあったときも案内されなくなりますので、実装は自己判断でお願いします。